[2015년 대진고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2} -3x]에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {n LEFT { f LEFT ( 2+ {2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 2- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (-1,``` 0)]을 지나고 [eqn: x=2]에서 접할 때, 세 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)], [eqn: i(x)]를 [eqn: g(x)=|f(x)|], [eqn: h(x)=|f(-x)|], [eqn: i(x)=f(|x|)]와 같이 정의한다. 세 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)], [eqn: i(x)]의 그래프에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+5b+7c]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 13]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +2kx+3]이 열린 구간 [eqn: (-1,```3)]에서 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 상수 [eqn: k]값의 범위를 [eqn: a<k<b]라 하자. [eqn: ab]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

--

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족 시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: k]는 실수이다.)

⑤

(가) 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x=k]인 점에서 [eqn: x]축에

접한다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3k]에서 극댓값 [eqn: 32]를 가진다.

① [eqn: 80]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 160]

방정식 [eqn: 2x ^{3} -2=6x+k]가 서로 다른 두 개의 양의 근과 한 개의 음의 근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 [eqn: a<k<b]라 하자. [eqn: a+b]의 값은?

②

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x)=-x ^{2} +4x+1]의 그래프 위에  두 점 [eqn: rmA(1,```4)], [eqn: rmB(4,```1)]과 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이를 움직이는 [eqn: rmP]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 최대가 될 때, 삼각형의 넓이는 [eqn: {a} over {b}]이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소이다.)

⑤

① [eqn: 19]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 35]

미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy], [eqn: f` prime (0)=-1]을 만족할 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{5} f(k)]의 값은?

①

① [eqn: 95]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 105]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 115]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2}] 밖의 한 점 [eqn: (0,```a)]에서 곡선에 세 개의 접선을 그을 수 있을 때, 실수 [eqn: k]값의 범위를 [eqn: 0<a<k]라 하자. [eqn: k]의 값은?

②

① [eqn: {1} over {81}]	② [eqn: {1} over {27}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{n} = int _{0} ^{1} {(1+4x+9x ^{2} + CDOTS +n ^{2} x ^{n-1}} )dx]라고 할 때 [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}}]의 값은?

①

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[eqn: lim _{n-> INF } {{3} over {n} LEFT ( LEFT | 2- {3} over {n} RIGHT | + LEFT | 2- {6} over {n} RIGHT | + CDOTS + LEFT | 2- {3n} over {n} RIGHT | RIGHT )}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int _{1} ^{x} {(x-t)f(t)dt=-x ^{3} +3x ^{2} -2}]
가 성립할 때, [eqn: f(4)]의 값은?

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 0]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -12]	⑤ [eqn: -18]

두 곡선 [eqn: y=x ^{2} -1]과 [eqn: y=-x ^{2} +2x+3]으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

③

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {22} over {3}]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: {32} over {3}]	⑤ [eqn: {157} over {12}]

그림과 같이 네 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (1,```0)], [eqn: (1,```1)], [eqn: (0,```1)]을 꼭지점으로 하는 정사각형 내부를 두 곡선 [eqn: y= { 1} over {2 }x^2], [eqn: y=ax^2]으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]라 하자.

[eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

①

① [eqn: {16} over {9}]	② [eqn: {17} over {9}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {19} over {9}]	⑤ [eqn: {20} over {9}]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0)>0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]는
[eqn: g(x)= LEFT | int _{0} ^{x} {f(t)dt} RIGHT |]
라 할 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을

갖는다.
ㄴ. [eqn: f `prime (0)<0]
ㄷ. [eqn: int _{m} ^{m+2} {f(x)dx>0}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의

개수는 [eqn: 3]개다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표가 [eqn: 4]인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -2t]일 때, 다음 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고르면?

④

ㄱ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치 [eqn: x= {1} over {3} t ^{3} -t ^{2}]이다.

ㄴ. [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량은

[eqn: {2} over {3}]이다.
ㄷ. [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP} _{n}]의 시각 [eqn: t]에서의 속도는 [eqn: v _{n} (t)= {1} over {2 ^{n}} (2t-t ^{2} )]이다. 점 [eqn: {rmP } _{n}]이 다시 원점을 지날 때까지의 움직인 거리를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

서술형

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{h-> 0} {{f(2+2h)-f(2+4h)} over {3h} =2}]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, 로피탈의 정리는 사용하지 말 것.)

[eqn: -3]

함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{4} -2x ^{3} +8]의 그래프를 그리고, 극값을 구하는 과정을 증감표를 이용하여 서술하시오.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 8]	[eqn: SEARROW]	[eqn: - 11over2]	[eqn: NEARROW]

[eqn: x]
[eqn: f` prime (x)]
[eqn: f(x)]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

정적분의 정의에 의하여 [eqn: int _{0} ^{2} {x ^{2} dx}]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (정적분의 정의를 명시해야 함.)

[eqn: lim_n->inf][eqn: sum fromk=1 to n][eqn: left( 4k^2 over n^2 cdot 2over n right)][eqn: =][eqn: int_0 ^2 x^2 dx][eqn: ={ 8} over { 3}]

[2015년 대진고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

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